대표적인 무한급수(급수) 형태를 선택하면 수렴/발산을 빠르게 판정하고, 어떤 판정법을 썼는지 근거까지 함께 정리해 드립니다. (부분합 표는 참고용입니다.)
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수렴·발산 판정이란?
무한급수
Σ aₙ은 항을 무한히 더하는 개념입니다. 이때 부분합 S_N = a₁ + a₂ + … + a_N이 어떤 유한한 값으로 가까워지면 수렴, 끝없이 커지거나(±∞) 혹은 특정 값으로 안정되지 않으면 발산이라고 합니다. 수학/공학/통계에서 급수의 안정성(수렴성)은 계산 가능성, 오차 추정, 모델의 타당성과 직결됩니다.가장 먼저 보는 1단계: n항 판정
급수가 수렴하려면 반드시
lim aₙ = 0 이어야 합니다. 만약 항이 0으로 가지 않으면(예: 1, -1, 1, -1…), 그 즉시 발산입니다. 다만 lim aₙ = 0이라고 해서 자동으로 수렴하는 것은 아니고, 그 다음 판정법이 필요합니다.대표 판정법 요약
- p-급수:
Σ 1/n^p는p>1이면 수렴,p≤1이면 발산 - 등비급수:
Σ a·r^n는|r|<1이면 수렴,|r|≥1이면 발산 - 교대급수(라이프니츠): 항의 절댓값이 0으로 가고 결국 감소하면 수렴(절대수렴은 별도 확인)
- 비율판정:
L = lim |aₙ₊₁/aₙ|, L<1 수렴 / L>1 발산 / L=1 판정불가 - 근판정:
L = lim sup |aₙ|^(1/n), L<1 수렴 / L>1 발산 / L=1 판정불가 - 로그 포함 급수:
Σ 1/(n^p (ln n)^q)는 p와 q로 자주 깔끔히 갈립니다 (이 페이지 계산기 지원)
어떤 판정법을 쓰면 좋을까?
- 거듭제곱 꼴(1/n^p)이 보이면: p-급수/비교판정
- r^n, e^{cn} 같이 "지수"가 보이면: 비율판정/근판정
- (-1)^n이 있으면: 교대급수 판정 + 절대수렴 여부 확인
- ln n이 끼면: 1/(n(ln n)^q) 유형인지 먼저 체크
자주 하는 실수
lim aₙ = 0이면 무조건 수렴이라고 착각 (필요조건일 뿐!)- L=1인데 비율판정으로 결론을 내림 (이 경우는 판정불가)
- 교대급수에서 "수렴"만 보고 끝냄 → 절대수렴/조건수렴을 구분해야 하는 경우가 많음
FAQ
- Q. 이 계산기는 모든 급수를 판정하나요?
A. 아니요. 자주 등장하는 대표 형태(p-급수, 등비급수, 교대 p-급수, 로그 포함 급수, 일부 비율판정 템플릿)를 빠르게 판정하는 용도입니다. 복잡한 합성/특이 급수는 다른 판정법(비교/적분/응축 등)이 필요할 수 있어요. - Q. 부분합이 어느 정도 안정되면 "수렴"인가요?
A. 부분합은 참고 지표입니다. 엄밀한 수렴/발산은 판정법(증명)으로 결론을 내려야 합니다.
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