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가우스 소거법 계산기

연립방정식을 가우스 소거법(Gaussian elimination)으로 풀어 해를 구하는 계산기입니다.
가우스 소거법(Gaussian elimination)으로 연립방정식을 풀이하거나, 고급 모드에서는 일반 행렬의 랭크와 해 존재 여부를 판정할 수 있습니다. 또한 소거 과정(RREF 변환)을 단계별로 확인할 수 있습니다.
설정
3개
계수 행렬 입력

가우스 소거법이란?

가우스 소거법(Gaussian Elimination)은 연립방정식을 풀기 위해 가장 널리 사용되는 알고리즘 중 하나입니다. 주어진 계수 행렬을 전진 소거(Forward Elimination)와 후진 대입(Back Substitution) 과정을 통해 계단형(Row Echelon Form) 또는 기약 계단형(Reduced Row Echelon Form, RREF)으로 변환하여 해를 구합니다.

특히, 해 존재 여부 판정에도 유용하여, 연립방정식이 유일해를 갖는지, 무수히 많은 해를 갖는지, 혹은 해가 존재하지 않는지를 구분할 수 있습니다.

가우스 소거법 계산 예시

다음 연립방정식을 예로 들어봅시다.

{2x+y−z=8−3x−y+2z=−11−2x+y+2z=−3\begin{cases} 2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3 \end{cases}

1. 계수 행렬 구성

[21−18−3−12−11−212−3]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}

2. 전진 소거 – 첫 번째 열을 피벗으로 하여 아래 원소들을 0으로 만듭니다.

[21−1800.50.510215]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}

3. 두 번째 열 반복 – 두 번째 열을 피벗으로 삼아 소거합니다.

[21−1800.50.5100−11]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}

4. 후진 대입 – 마지막 행부터 차례대로 미지수를 구합니다.

최종 해는:

x=2,  y=3,  z=−1x = 2, \; y = 3, \; z = -1

가우스 소거법 계산기 사용법

  • 방정식 수 선택: 기본 모드에서는 연립방정식의 개수(2~8개)를 드롭다운에서 선택합니다.
  • 계수 행렬 입력: 각 행은 방정식 하나를 의미하며, 마지막 칸은 등호 오른쪽 상수항입니다.
    예: 2x + y - z = 8 → [2] [1] [-1] [8]
  • 계산하기 버튼 클릭: 소거 과정, 랭크, 해 존재 여부, 최종 해를 확인할 수 있습니다.
  • 고급 모드: 행과 열 크기를 직접 지정하여 일반 행렬의 소거 과정과 해 공간을 확인할 수 있습니다. 무수히 많은 해일 경우, 일반해를 벡터 표현으로 제공합니다.

REF와 RREF의 차이

연립방정식을 가우스 소거법으로 풀 때, 최종적으로 어떤 행렬 형태까지 소거하느냐에 따라REF(Row Echelon Form, 계단형 행렬)과RREF(Reduced Row Echelon Form, 기약 계단형 행렬)로 나눌 수 있습니다.

REF (계단형 행렬)

REF는 전진 소거(Forward Elimination) 까지만 수행한 행렬 형태입니다. 각 열의 피벗(pivot) 아래쪽 원소들을 0으로 만들어 계단 모양으로 단순화합니다. 다만 피벗 위쪽 원소들은 그대로 남아있기 때문에, 최종 해를 구하려면 후진 대입(Back Substitution) 과정을 거쳐야 합니다.

[21−1800.50.5100−12]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}

위와 같이 계단형으로 단순화된 형태가 REF이며, 교재나 수업에서는 주로 REF 과정을 다룹니다.

RREF (기약 계단형 행렬)

RREF는 REF에서 한 단계 더 나아가 후진 소거(Backward Elimination) 까지 수행한 형태입니다. 피벗 위쪽 원소들도 모두 0으로 만들어 각 피벗 열에는 오직 피벗만 1로 남습니다. 따라서 해를 행렬에서 바로 읽을 수 있는 장점이 있습니다.

[10020103001−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}

위와 같은 형태가 RREF이며, 컴퓨터 연산이나 수치해석 소프트웨어에서는 RREF 방식을 더 많이 사용합니다.

REF와 RREF 비교
  • REF: 전진 소거까지만 → 해를 구하려면 후진 대입 필요
  • RREF: 전진 + 후진 소거 모두 수행 → 해를 바로 확인 가능
  • REF는 교재/수업에 적합, RREF는 계산기/컴퓨터 연산에 적합

활용 분야

  • 수학 학습: 선형대수학, 고등학교/대학교 연립방정식 풀이 연습
  • 공학 및 과학: 물리 시뮬레이션, 회로 해석, 수치해석 알고리즘 구현
  • 데이터 분석: 회귀 분석, 머신러닝 모델의 기초 선형 시스템 풀이
  • 교육용 콘텐츠: 교재, 과제, 시험 대비

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