적분은 함수가 어떤 구간에서 얼마나 누적되는지를 계산하는 수학 개념입니다. 쉽게 말하면 그래프 아래에 쌓인 값이나 넓이를 구하는 방법이라고 볼 수 있습니다. 예를 들어 속도 함수를 시간에 대해 적분하면 이동 거리를 구할 수 있고, 힘을 거리 구간에서 적분하면 한 일을 계산할 수 있습니다.

적분은 크게 부정적분과 정적분으로 나눌 수 있습니다. 부정적분은 미분했을 때 원래 함수가 되는 원시함수를 찾는 과정이고, 정적분은 특정 하한과 상한 사이에서 함수가 누적한 값을 계산하는 과정입니다. 이 적분 계산기는 두 가지를 모두 다룰 수 있도록 구성되어 있습니다.

적분 계산기는 함수식을 입력해 부정적분 또는 정적분을 계산하는 도구입니다. 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수, 유리함수처럼 자주 사용하는 함수의 적분값을 빠르게 확인할 수 있습니다.

이 계산기는 단순히 답만 보여주는 방식이 아니라, 기호식 적분 결과와 함께 수치적분 결과를 비교해 계산값을 교차 확인할 수 있습니다. 정적분에서는 부호 있는 적분값, 실제 도형의 넓이에 가까운 절댓값 넓이, 함수의 평균값, 방식별 비교, 분할 수에 따른 안정성, 누적 적분 그래프까지 함께 확인할 수 있습니다.

부정적분은 특정 구간 없이 원시함수 전체를 구하는 계산입니다. 예를 들어 x^2의 부정적분은 x^3 / 3 + C입니다. 여기서 C는 미분하면 0이 되는 임의의 상수인 적분상수입니다.

정적분은 하한과 상한을 정한 뒤 그 구간에서 함수가 누적한 값을 계산합니다. 함수 f(x)의 원시함수를 F(x)라고 하면,a부터 b까지의 정적분은F(b) - F(a)로 계산합니다. 상한이 하한보다 작으면 적분값의 부호가 반대로 바뀝니다.

정적분은 그래프가 x축 위에 있으면 양수, x축 아래에 있으면 음수로 계산합니다. 그래서 함수가 적분 구간 안에서 x축을 지나면 위쪽 영역과 아래쪽 영역이 서로 상쇄될 수 있습니다. 예를 들어 대칭 구간에서 홀함수를 적분하면 정적분값은 0이 될 수 있지만, 실제 그래프와 x축 사이의 넓이는 0이 아닙니다.

실제 면적을 확인하고 싶다면 함수 자체가 아니라 함수의 절댓값을 적분해야 합니다. 이 계산기의 절댓값 넓이는 구간 전체에서 |f(x)|를 수치적분하여 x축 아래에 있는 영역도 양수로 더한 값입니다.

모든 함수가 깔끔한 원시함수로 표현되는 것은 아닙니다. 예를 들어 exp(-x^2)처럼 초등함수만으로 부정적분을 간단히 나타내기 어려운 함수도 있습니다. 이런 경우에는 정적분 구간을 작은 조각으로 나누어 근삿값을 구하는 수치적분이 실용적입니다.

이 계산기는 정적분을 계산할 때 심프슨 공식, 사다리꼴 공식, 중점 공식의 결과를 비교해 근삿값이 안정적인지 확인할 수 있도록 도와줍니다. 방식별 결과가 비슷하고, 분할 수를 늘려도 값이 크게 변하지 않는다면 정적분 근삿값을 더 신뢰할 수 있습니다.

심프슨 공식은 작은 구간의 곡선을 포물선으로 근사해 적분값을 계산합니다. 매끄러운 함수에서는 비교적 적은 분할 수로도 정확도가 높게 나오는 경우가 많습니다. 사다리꼴 공식은 각 구간을 직선으로 이어 사다리꼴 넓이를 더하는 방식이고, 중점 공식은 각 구간의 가운데 함수값을 대표값으로 사용합니다.

세 방식의 결과 차이가 크다면 함수가 급격히 변하거나, 구간 안에 불연속점 또는 특이점이 있을 수 있습니다. 특히 분모가 0이 되는 지점, 로그 함수의 정의역 밖 구간, 제곱근 안이 음수가 되는 구간은 주의해야 합니다.