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라플라스 변환 계산기

함수 f(t)의 라플라스 변환 F(s)와 역라플라스 변환을 계산하고, 자주 쓰는 변환 규칙과 가능한 경우 왕복 검산 결과를 확인할 수 있는 계산기입니다.

함수 f(t)를 F(s)로 바꾸는 라플라스 변환과 역라플라스 변환을 계산합니다. 다항식, 지수함수, 삼각함수 등의 수식을 입력하면 변환 결과를 수학식으로 확인할 수 있으며, 가능한 경우 왕복 검산과 대표 수렴 조건도 함께 제공합니다.

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라플라스 변환이란?

라플라스 변환(Laplace Transform)은 시간 변수 t에 대한 함수 f(t)를 복소 변수 s에 대한 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환입니다. 미분과 적분으로 표현된 문제를 s 영역의 대수식으로 바꿀 수 있어 공학수학, 미분방정식, 회로이론, 제어공학, 신호와 시스템에서 널리 사용됩니다.

일반적으로 사용하는 단측 라플라스 변환은 다음과 같이 표현합니다.

F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt

여기서

f(t)

는 시간 영역의 원래 함수이고,

F(s)

는 라플라스 변환을 적용한 s 영역의 함수입니다.

s

는 일반적으로 복소 변수이며, 라플라스 변환이 수렴하는 범위에서는 위 적분을 통해 시간 함수를 s 영역 함수로 표현할 수 있습니다.

라플라스 변환 공식

라플라스 변환 계산에서 가장 기본이 되는 공식은 위의 적분 정의입니다. 하지만 실제 문제에서는 매번 적분을 직접 계산하기보다 자주 사용하는 함수의 라플라스 변환 공식과 변환표를 이용하는 경우가 많습니다.

예를 들어, 다음과 같은 기본 변환쌍을 사용할 수 있습니다.

\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}

\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}

\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}

\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^2+b^2}

\mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\frac{s}{s^2+b^2}

라플라스 변환 계산기 사용 방법

이 라플라스 변환 계산기에서는 시간 함수의 라플라스 변환뿐만 아니라 역라플라스 변환도 계산할 수 있습니다.

[라플라스 변환]또는 [역라플라스 변환]을 선택합니다.
라플라스 변환에서는 시간 변수 t를 사용하여 함수를 입력합니다.
역라플라스 변환에서는 변환 변수 s를 사용하여 함수를 입력합니다.
곱셈은 *, 거듭제곱은 ^를 사용합니다.
계산 결과에서 변환식, 적용 규칙, 대표 수렴 조건, 왕복 검산, LaTeX 코드를 확인할 수 있습니다.

라플라스 변환 예제

계산기에 바로 입력해볼 수 있는 대표적인 라플라스 변환 예제는 다음과 같습니다.

\mathcal{L}\{t^2\}=\frac{2}{s^3}

\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^2+9}

\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^2+4}

\mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2}

예를 들어 sin(3*t)를 입력하면 사인 함수의 라플라스 변환 공식을 적용하여

\frac{3}{s^2+9}

을 얻을 수 있습니다.

자주 쓰는 라플라스 변환표

아래 라플라스 변환표는 다항식, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수에서 자주 사용하는 기본 변환쌍을 정리한 것입니다.

f(t)	F(s)	대표 수렴 조건

$1$	$\frac{1}{s}$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	$n=0,1,2,\ldots,\quad \operatorname{Re}(s)>0$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$	$\operatorname{Re}(s)>a$
$\sin(bt)$	$\frac{b}{s^2+b^2}$	$\operatorname{Re}(s)>0$
$\cos(bt)$	$\frac{s}{s^2+b^2}$	$\operatorname{Re}(s)>0$
$\sinh(bt)$	$\frac{b}{s^2-b^2}$	$\operatorname{Re}(s)>\|b\|$
$\cosh(bt)$	$\frac{s}{s^2-b^2}$	$\operatorname{Re}(s)>\|b\|$

역라플라스 변환이란?

역라플라스 변환(Inverse Laplace Transform)은 라플라스 변환의 반대 과정으로, s 영역의 함수

F(s)

에서 시간 영역의 함수

f(t)

를 구하는 과정입니다.

F(s)\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}f(t)

예를 들어,

F(s)=\frac{3}{s^2+9}

이라면 역라플라스 변환을 통해

f(t)=\sin(3t)

를 얻을 수 있습니다.

왕복 검산은 무엇인가요?

이 계산기는 가능한 경우 계산된 라플라스 변환 결과를 다시 역라플라스 변환하거나, 역라플라스 변환 결과를 다시 라플라스 변환하여 왕복 검산결과를 함께 표시합니다.

다만 수학적으로 같은 함수라도 계산 엔진이 식을 정리하는 방식에 따라 원래 입력식과 표현 형태가 다르게 표시될 수 있습니다.

라플라스 변환의 수렴 영역 ROC란?

라플라스 변환의 적분이 수렴하려면 복소 변수

s

가 일정한 조건을 만족해야 하는 경우가 있습니다. 이러한 영역을 수렴 영역(Region of Convergence, ROC)이라고 합니다.

예를 들어, 지수함수

e^{at}

의 단측 라플라스 변환은 대표적으로 다음 조건에서 수렴합니다.

\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\qquad\operatorname{Re}(s)>a

다만 여러 함수가 결합된 복합식의 수렴 영역은 식 전체를 분석해야 할 수 있습니다. 따라서 이 계산기는 단순한 대표식에 대해서만 수렴 조건을 참고 정보로 표시합니다.

라플라스 변환은 어디에 사용되나요?

라플라스 변환은 시간 영역에서 직접 다루기 어려운 미분과 적분 문제를 s 영역에서 비교적 단순한 대수식으로 표현할 수 있다는 장점이 있습니다.

미분방정식: 초기조건이 포함된 선형 미분방정식을 변환하여 풀이할 때 사용합니다.
제어공학: 전달함수와 시스템 응답을 표현하는 데 사용합니다.
회로이론: RLC 회로 등의 과도응답과 초기조건을 분석할 때 활용합니다.
신호와 시스템: 시간 영역의 신호와 시스템을 s 영역에서 분석할 때 사용합니다.

라플라스 변환과 푸리에 변환의 차이

라플라스 변환과 푸리에 변환은 모두 시간 영역의 함수를 다른 영역으로 변환한다는 공통점이 있지만 사용하는 변수와 목적에 차이가 있습니다.

푸리에 변환은 주로 주파수 성분을 분석하는 데 사용하며, 라플라스 변환은 복소 변수

s=\sigma+j\omega

를 사용하여 감쇠나 성장 성분까지 함께 표현할 수 있습니다.

따라서 주파수 스펙트럼을 분석할 때는 푸리에 변환이 유용하고, 미분방정식, 전달함수, 시스템 응답 등을 다룰 때는 라플라스 변환이 많이 사용됩니다.

계산 결과가 나오지 않는 경우

이 라플라스 변환 계산기는 모든 가능한 기호식을 자동으로 변환할 수 있는 것은 아니므로 복잡한 식에서는 결과를 구하지 못할 수 있습니다.

특히 복잡한 역라플라스 변환이 계산되지 않는 경우 식을 부분분수 형태로 나누거나, 여러 항으로 분리하여 다시 계산해보는 방법을 사용할 수 있습니다.

라플라스 변환 계산기 자주 묻는 질문

Q. 라플라스 변환 계산기에 e의 지수함수는 어떻게 입력하나요?
A. e^(-2t)보다는 exp(-2*t)처럼 입력하는 것을 권장합니다.
Q. sin(3t)는 어떻게 입력하나요?
A. 정확한 계산을 위해 sin(3*t)처럼 숫자와 변수 사이에 곱셈 기호 *를 입력하는 것을 권장합니다.
Q. 역라플라스 변환도 계산할 수 있나요?
A. 네. 변환 방향에서 역라플라스 변환을 선택하고 3/(s^2+9)와 같은 s 영역의 수식을 입력하면 시간 영역 함수를 계산합니다.
Q. 라플라스 변환 결과를 LaTeX로 복사할 수 있나요?
A. 네. 계산 결과를 KaTeX로 렌더링하여 보여주며, 결과 아래의 LaTeX 코드도 바로 복사할 수 있습니다.
Q. 수렴 영역 ROC도 계산되나요?
A. 단순한 대표식에 대해서는 참고할 수 있는 수렴 조건을 표시합니다. 복합식의 ROC는 함수 전체에 대한 별도 분석이 필요할 수 있습니다.
Q. 미분방정식을 직접 풀어 주나요?
A. 현재 계산기는 함수의 라플라스 변환과 역라플라스 변환에 집중합니다. 미분방정식 전체에 초기조건을 적용하여 푸는 기능은 별도의 미분방정식 계산 기능이 필요합니다.