행렬 A와 B를 입력해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 스칼라 곱, 전치행렬, 행렬식, 역행렬, RREF, rank를 계산할 수 있습니다. 셀로 직접 입력하거나 문제에서 복사한 행렬을 텍스트로 붙여넣어 빠르게 변환해보세요.

행렬은 숫자나 기호를 행과 열의 직사각형 형태로 배열한 수학적 표현입니다. 가로 방향을 행(row), 세로 방향을 열(column)이라고 하며, 예를 들어 3개의 행과 2개의 열을 가진 행렬은 3×2 행렬이라고 부릅니다. 행렬은 여러 값을 한 번에 다루기 좋기 때문에 연립방정식, 좌표 변환, 통계, 데이터 분석, 컴퓨터 그래픽스, 인공지능, 공학 계산 등 다양한 분야에서 사용됩니다.

이 행렬 계산기는 행렬 A와 행렬 B를 입력해 행렬 덧셈, 행렬 뺄셈, 행렬 곱셈, 전치행렬, 행렬식, 역행렬, RREF, rank를 계산할 수 있는 온라인 계산기입니다. 단순히 결과만 보여주는 것이 아니라, 역행렬과 RREF 계산에서는 주요 행 연산 과정도 함께 확인할 수 있어 선형대수학 학습이나 과제 검산에 활용하기 좋습니다.

먼저 계산하고 싶은 연산을 선택한 뒤 행렬 A와 필요하면 행렬 B를 입력합니다. 기본적으로는 각 칸에 숫자를 직접 입력하는 셀 입력 방식을 사용할 수 있고, 문제집이나 문서에서 복사한 행렬이 있다면 텍스트 붙여넣기 입력으로 빠르게 변환할 수 있습니다.

텍스트 입력은 공백, 쉼표, 줄바꿈, 분수 입력을 지원합니다. 예를 들어, 아래처럼 입력하면 3행 3열 행렬로 인식됩니다.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
분수나 음수도 입력할 수 있습니다.
1/2, -3, 4
0, 1, 5

행렬 덧셈과 행렬 뺄셈은 두 행렬의 크기가 같을 때만 계산할 수 있습니다. 예를 들어 행렬 A가 2×3 행렬이면 행렬 B도 2×3 행렬이어야 합니다. 계산 방식은 간단합니다. 같은 위치에 있는 원소끼리 더하거나 빼면 됩니다.

공식으로 표현하면 행렬 덧셈은 cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ, 행렬 뺄셈은 cᵢⱼ = aᵢⱼ - bᵢⱼ입니다. 이 계산기를 사용하면 행과 열의 크기가 맞지 않을 때 오류를 바로 확인할 수 있어 입력 실수를 줄일 수 있습니다.

행렬 곱셈은 일반적인 숫자 곱셈과 달리 행과 열의 크기 조건이 중요합니다. 행렬 A의 열 수와 행렬 B의 행 수가 같아야 곱셈이 가능합니다. A가 m×n 행렬이고 B가 n×p 행렬이면, 결과는 m×p 행렬이 됩니다.

각 결과 원소는 행렬 A의 한 행과 행렬 B의 한 열을 차례대로 곱한 뒤 모두 더해서 구합니다. 예를 들어, 2×3 행렬과 3×2 행렬을 곱하면 결과는 2×2 행렬입니다. 이 행렬 곱셈 계산기는 결과 행렬의 크기와 일부 계산 과정을 함께 보여주기 때문에 행렬 곱셈 원리를 이해하는 데 도움이 됩니다.

행렬식은 정사각행렬에서만 정의되는 값입니다. 2×2 행렬에서는 ad - bc로 간단히 계산할 수 있지만, 3×3 이상의 행렬에서는 계산 과정이 길어지기 때문에 보통 행 연산을 이용해 상삼각행렬로 바꾼 뒤 대각 원소의 곱으로 행렬식을 구합니다.

행렬식은 역행렬 존재 여부를 판단할 때 특히 중요합니다.det(A) = 0이면 행렬 A는 특이행렬이므로 역행렬이 존재하지 않습니다. 반대로 det(A) ≠ 0이면 역행렬을 가질 수 있으며, 연립일차방정식의 해가 유일한지 판단하는 데도 활용할 수 있습니다.

역행렬은 어떤 행렬 A에 곱했을 때 단위행렬 I가 되는 행렬입니다. 즉, A × A⁻¹ = I를 만족하는 행렬을 말합니다. 역행렬은 모든 행렬에 존재하는 것이 아니라, 정사각행렬이면서 행렬식이 0이 아닐 때만 존재합니다.

이 역행렬 계산기는 [A | I] 형태의 확장행렬을 만든 뒤, 가우스-조르당 소거법을 이용해 왼쪽 A를 단위행렬로 바꾸는 방식으로 역행렬을 계산합니다. 계산 결과와 함께 A × A⁻¹ 검산 행렬을 확인할 수 있어 역행렬이 제대로 계산되었는지 이해하기 쉽습니다.

RREF는 Reduced Row Echelon Form의 줄임말로, 한국어로는 기약 행 사다리꼴이라고 합니다. 행렬을 RREF로 변환하면 피벗 위치, 자유변수 여부, 연립방정식의 해 구조를 쉽게 확인할 수 있습니다.

이 RREF 계산기는 행 교환, 행 배수, 행 덧셈 같은 기본 행 연산을 이용해 행렬을 기약 행 사다리꼴로 바꾸고, 그 과정에서 어떤 연산이 사용되었는지 단계별로 보여줍니다. 따라서 단순 답 확인뿐 아니라 가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법을 공부할 때도 유용합니다.

rank는 행렬에서 선형적으로 독립인 행 또는 열의 개수를 의미합니다. 쉽게 말하면 행렬이 실제로 가지고 있는 정보의 차원이라고 볼 수 있습니다. RREF로 변환했을 때 0이 아닌 행의 개수, 또는 피벗의 개수를 세면 행렬의 rank를 구할 수 있습니다.

rank 계산기는 연립방정식의 해가 존재하는지, 해가 하나인지 여러 개인지, 또는 어떤 벡터들이 서로 독립인지 판단할 때 활용할 수 있습니다. 선형대수학에서는 행렬의 rank가 해 공간, 차원, 기저, 선형 독립성 판단과 밀접하게 연결됩니다.

역행렬이나 RREF를 계산하다 보면 0.333333, 0.666667처럼 반복소수 형태의 결과가 자주 나옵니다. 수학 풀이에서는 이런 값을 1/3, 2/3처럼 분수로 보는 것이 더 자연스러운 경우가 많습니다. 이 행렬 계산기의 분수 근사 표시를 사용하면 소수 결과를 분수 형태로 함께 확인할 수 있어 손풀이, 과제 검산, 풀이 과정 정리에 더 편리합니다.

행렬 연산은 연산 종류에 따라 가능한 조건이 다릅니다. 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 크기가 같아야 하고, 곱셈은 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 합니다. 행렬식과 역행렬은 정사각행렬에서만 계산할 수 있으며, 행렬식이 0인 행렬은 역행렬을 가질 수 없습니다.

또한 이 계산기는 학습과 일반 계산 확인을 위한 도구입니다. 매우 큰 수, 매우 작은 수, 또는 특이행렬에 가까운 행렬을 계산할 때는 부동소수점 근사 오차가 생길 수 있습니다. 중요한 과제나 보고서에 사용할 때는 계산 과정과 조건을 함께 확인하는 것이 좋습니다.